Имя греческое, от Алексиос. Корень тот же, что в первой половине имени Александр: глагол alexo, то есть защищать, отражать, оберегать. Дословно Алексей значит защитник, оберегающий, защищающий. В отличие от Александра, у Алексея нет второго корня про мужей и людей, поэтому смысл шире и мягче: не защитник людей, а просто тот, кто оберегает.
Имя разошлось через христианство. В святцах стоит несколько Алексиев, среди них Алексий, человек Божий, чьё житие было на Руси очень популярным, и московский митрополит Алексий. Через церковный календарь имя попало в русский обиход и держалось там всегда, а русская литература сделала форму Алёша почти символом доброты и чистоты.
Женская форма того же корня Алексия, в русском обиходе редкая. На Западе родственные имена Alexis и Alex, и из-за этого современные Алексеи часто оказываются за границей Алексами, что удобно, но смысл имени затирает.
Греческое имя. Дословный перевод: защитник, оберегающий.